Fractionality: entropy and related physical properties
- Reference number
- UKR22-0017
- Project leader
- Mishura, Yuliya
- Start and end dates
- 220901-241231
- Amount granted
- 2 000 000 SEK
- Administrative organization
- Mälardalen University, Västerås
- Research area
- Computational Sciences and Applied Mathematics
Summary
Main objectives: advanced studies of fractional processes. There are a lot of unexplored areas here, mainly where the theory goes into physical, financial and other applications. The properties of Cholesky decomposition of covariance matrix of the fractional Brownianm motion (fBm), projections of fractional noise, and of entropy as a function of the Hurst parameter are unknown, and many statistical problems have not been solved yet. Ergodic theorems and properties of solutions of SDEs containing fractional processes and Gaussian Volterra processes still have not been deeply investigated. These are not “just some other properties”, but deep physical properties of fractional objects, and the solution of every such a problem will be valuable. Condensed work plan. To study entropy of fractional processes as a function of their parameters, with physical applications. To study Cholesky decomposition of covariance matrix, and projections of fractional noise onto its individual coordinates. Parameter estimation for the advanced models involving fBm, especially with irregular drift coefficient Ergodic theorems for fractional diffusion processes, including rate of convergence. Expected results: properties of entropy, Cholesky decomposition of covariance matrix, and projections of fractional noise, construction of parameter estimators for the advanced models involving fBm, ergodic theorems for fractional diffusion processes, including rate of convergence.
Popular science description
Föreställ dig till exempel passagen av en signal genom cellulära kanaler. Det verkar som att signalen passerade, och kommunikationskanalerna "glömde" det. Men nej, den successiva passagen av en signal har ett minne i den meningen att passagen av nästa signaler beror på intensiteten av passagen av de föregående. Dessutom är denna intensitet slumpmässig eftersom den beror på många faktorer. Detsamma kan sägas om prissättningen på den finansiella börsen, eller om bildandet av väder och klimat. För den matematiska beskrivningen av dessa fenomen är de bästa på grund av deras enkelhet de så kallade fraktionerade slumpmässiga processerna. Dessutom har vilket som helst av de dynamiska systemen som övervägs, inklusive de som beskrivs av fraktionerade slumpmässiga processer, ett visst mått av kaos, som åtminstone måste mätas för att förutsäga den fortsatta utvecklingen av systemet. Matematiskt kallas denna mängd kaos "entropi". Således kommer vi till problemet med att uppskatta entropi i ett dynamiskt system som förändras under påverkan av slumpmässiga faktorer och samtidigt "minns" det förflutna. Sådan är majoriteten av verkliga dynamiska system! Därför är projektet avsett att studera entropiegenskaperna hos dynamiska system, vilka beskrivs av slumpmässiga fraktionerade processer. Men inte bara entropins egenskaper, utan även uppskattningar av parametrarna för sådana system är tänkta att göras inom ramen för projektet.Vanligtvis, i den matematiska beskrivningen av sådana system, antas formen av koefficienterna vara känd, men med en noggrannhet upp till några skalande numeriska faktorer, som kallas parametrar. De måste utvärderas utifrån observationer. Detta är ett välkänt problem, men sättet att lösa det beror mycket på koefficienternas form. Som en del av projektet kommer vi att studera system med oregelbundna koefficienter, och med fraktionerad slumpmässiga processer. För närvarande har metoder för att uppskatta parametrar i sådana system ännu inte studerats. Men med lång erfarenhet av att utvärdera parametrar och studera sådana system hoppas vi att denna uppgift ska lösas, liksom alla andra uppgifter inom projektet.